Fonction logarithme
Le
logarithme népérien, comme son nom l'indique, doit son existence au
mathématicien écossais John Neper (1550-1617), qui cherchait à simplifier les
calculs trigonométriques des astronomes en « transformant les produits en
sommes ».
De nos
jours, la fonction logarithme ne sert plus seulement à simplifier les
calculs ; elle tient une place importante dans de nombreux problèmes
d'analyse et son étude constitue un chapitre essentiel du programme de
terminale.
1.
Quelles sont les trois manières de définir la fonction logarithme
népérien ?
Comme pour
la fonction exponentielle, il existe trois manières principales de définir la
fonction logarithme népérien :
La fonction
logarithme népérien peut être définie à partir de la fonction exponentielle.
Il existe en
effet, pour tout réel a strictement positif, un unique réel x tel
que ex = a. Ce nombre s'appelle le logarithme
népérien de a et on le note x = ln a
La fonction
inverse étant continue sur ]0 ; + [,
elle admet des primitives sur cet intervalle. La fonction logarithme népérien
est la primitive de la fonction inverse, sur ]0 ; + [,
qui prend la valeur 0 en 1.
Enfin, on
peut définir la fonction logarithme népérien à partir de son équation
fonctionnelle caractéristique.
Les
fonctions f définies sur ]0 ; + [
telles que, pour tous réels x et y, f(xy) = f(x) + f(y),
sont les fonctions k ln, où k désigne une constante réelle.
2.
Quelles sont les propriétés analytiques de la fonction logarithme
népérien ?
L'allure de
la courbe représentative de la fonction logarithme népérien permet de retrouver
les propriétés suivantes :
·
Ln x existe si et
seulement si x est strictement positif ;
·
ln 1 = 0 et ln e = 1 ;
·
ln x < 0 si et seulement si
0 < x < 1 ;
·
la fonction logarithme népérien est strictement
croissante sur ]0 ; + [ ;
·
la limite de ln x quand x tend vers
0 (par valeurs supérieures) est – ;
·
la limite de ln x quand x tend vers
+ est
+ ;
·
la fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [
et sa dérivée est la fonction ;
·
si u est une fonction dérivable et qu'elle est
strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction
ln o u est dérivable sur I et sa dérivée est
Remarque :
Dans un
repère orthonormal, les courbes représentatives de la fonction exponentielle et
de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite
d'équation y = x.
3.
Quelles sont les propriétés algébriques de la fonction logarithme
népérien ?
Pour tous
réels a et b strictement positifs et pour tout rationnel z :
;
;
;
Cette
dernière formule admet un cas particulier très utile :
Les
propriétés algébriques de la fonction logarithme jouent un rôle essentiel dans
la simplification des calculs. Elles permettent notamment de résoudre certaines
inéquations où l'inconnue figure en exposant.
4.
Qu'appelle-t-on croissance comparée ?
La comparaison
des croissances respectives de ex, xn
et ln x permet de lever certaines indéterminations qui peuvent
se présenter lors du calcul de limites.
Pour cela,
on se ramène aux formules ci-dessous, soit en effectuant un changement de
variable, soit en factorisant le terme dominant.
Pour tout
entier naturel n > 0 :
Une représentation
graphique illustre la croissance comparée de ex, xn
et ln x.
À retenir
La fonction
logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse qui prend la valeur
0 en 1. Elle est définie sur et
strictement croissante sur cet intervalle.
;
l'axe des ordonnées est donc une asymptote verticale de la courbe
représentative de la fonction logarithme népérien.
Pour tous
réels a et b strictement positifs et pour tout rationnel z :
On retiendra
les règles opératoires suivantes :
·
à l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur
toute puissance de x ;
·
à l'infini, les puissances de x l'emportent sur
les logarithmes de x.